Can we observe fasting during Ashura day if it falls on Friday?
Yes! Without any doubt can observe Fasting but it is better to be careful to observe Fasting on the 9th or 11th of Muharram too with the Day of Aashora i.e. 10th of Muharram.
کمافي المشكوة:عن ابى قتاده في حديث طويل صيام يوم عرفة احتسب على الله ان يكفر السنة التي قبله والسنة التي بعده و صيام يوم عاشورا احتسب على الله ان يكفر السنه التي قبله رواه مسلم اھ (179)۔
وفی صحیح مسلم:عن ابن عباس یقوم حین صام رسول الله صلى الله عليه وسلم يوم عاشورا وامر بصيامه قالوا يا رسول الله انه يوم يعظمه الیهود والنصارى فقال رسول الله صلى الله عليه وسلم فاذا کان العام المقبل ان شاء الله صمنا الیوم التاسع قال فلم يأت العام المقبل حتى توفى رسول الله صلى الله عليه وسلم اھ (1/359)۔